Álgebra booleana. Parte 1. Um pouco de história

Na escola, todos estudamos álgebra, mas eles não falavam sobre álgebra booleana por lá. Qual é a diferença entre álgebra booleana e álgebra escolar, a história de sua aparência, problemas e aplicações são descritas neste artigo.

O circuito que permite que dois interruptores acendam a luz no corredor ao entrar no corredor e desligue-o ao entrar na sala é conhecido há muito tempo (consulte. Circuito de controle de iluminação do corredor) É mostrado na Figura 1.

Tarefa número 1. Mais complicado. Crie um diagrama que permita ligar e desligar a luz do seu quarto com qualquer um dos três interruptores diferentes. Os interruptores estão localizados na entrada do quarto, acima da cama e na mesa.

Tarefa número 2.

Em um comitê de esportes, como um comitê de fábrica, cinco juízes se reuniram.

Cada um deles deve votar em decisões diferentes. A decisão é adotada por maioria de votos, mas somente sob a condição adicional de que o presidente do comitê vote nela.

Os juízes votam pressionando o botão que fecha o interruptor localizado sob a mesa em que estão sentados. Fechando a chave, eles votam a favor, desconectando os contras. Desenhe um diagrama simples que permita ver automaticamente os resultados da votação. No caso mais simples, simplesmente com a ajuda de uma lâmpada - acesa - a decisão foi tomada, não acendeu - não.

Tarefa número 3. Na prática, isso é improvável, mas como uma tarefa educacional complexa é bastante adequada.

Em uma grande sala hexagonal, um interruptor é instalado em cada parede. Construa um circuito para que, a qualquer momento, você possa ligar ou desligar a luz da sala, girando um (qualquer) interruptor.

Depois de sentar sem êxito nas tarefas por três a quatro dias, reserve-as temporariamente. E fique ocupado Álgebra booleana. É álgebra booleana ou, como também é chamada, Álgebra booleana, álgebra de circuito de relé, ajudará você a resolver seus problemas.

O que é álgebra booleana?

Curiosamente, apesar de há cinco anos estudarem álgebra na escola, muitos alunos e adultos posteriores não serão capazes de responder à pergunta, o que é álgebra? A álgebra é uma ciência que estuda os conjuntos de alguns elementos e as ações neles.

Em um curso escolar de álgebra, esses elementos são números. Os números podem ser indicados não por números, mas por letras, todos estão familiarizados com isso. Nas primeiras lições de álgebra, isso sempre torna difícil para muitos alunos. Lembre-se do quão difícil foi a princípio se acostumar a adicionar letras em vez de números, resolvendo equações que não dizem nada.

Provavelmente, cada um de nós se perguntou: "Por que precisamos digitar letras em vez de números e isso é necessário?" E somente mais tarde você viu quais vantagens a álgebra oferece ao resolver problemas em comparação com a aritmética.

A álgebra é usada em muitas ciências exatas. Isso é física, mecânica, sopromat, eletricidade. Lei de Ohm não há nada além de uma equação algébrica: basta substituir seus valores numéricos em vez de letras para descobrir qual corrente fluirá na carga ou qual resistência uma seção do circuito.

Então você se familiarizou com a álgebra de números ou com álgebra elementar. A tarefa principal e quase única é obter uma resposta para a pergunta: “O que é igual a X? Quanto?

No ensino médio, eles estudam o início da álgebra vetorial. Essa álgebra é fundamentalmente diferente da álgebra elementar. Tem uma natureza diferente do conjunto estudado e outras regras de ação. Resolvendo a equação vetorial, obtemos na resposta um vetor que não é um número comum que responde à pergunta "Quanto?"

As fórmulas da álgebra vetorial são, em muitos aspectos, diferentes das fórmulas da álgebra elementar. Por exemplo, na álgebra elementar e na álgebra vetorial, há uma operação de adição. Mas é realizado de maneiras completamente diferentes.A adição de números não é a mesma coisa que a adição de vetores.

Existem outras álgebras: álgebra linear, álgebra de estruturas, álgebra de anéis, álgebra de lógica ou, o que é o mesmo, álgebra booleana. Você provavelmente não ouviu o nome nas lições da escola. George Boole - mas todo mundo sabe o nome de uma de suas talentosas filhas, Ethel Voinich (1864 - 1960). Ela escreveu o romance "Gadfly", que fala sobre a luta pelos direitos dos carbonarianos italianos.

George Bull nasceu na Inglaterra em 2 de novembro de 1815. Durante toda a sua vida, ele trabalhou como professor de matemática e física na escola. Pelas memórias de seus alunos, sabe-se a grande importância que Bul atribui ao desenvolvimento das habilidades criativas dos alunos. Ao apresentar novo material, ele procurou garantir que seus próprios alunos "redescobrissem" certas fórmulas e leis.

Contando aos alunos as dificuldades que os cientistas inevitavelmente enfrentavam na busca da verdade, o professor gostava de repetir uma sabedoria oriental: mesmo o trono persa não pode trazer tanto prazer a uma pessoa quanto a menor descoberta científica. Buhl nunca perdeu a esperança de que algum dia seus alunos fizessem uma descoberta real.

A gama de interesses científicos de Buhl era muito ampla: ele estava igualmente interessado em matemática e lógica - a ciência das leis e formas de pensamento. Naqueles dias, a lógica era considerada uma ciência das ciências humanas, e muitos que conheciam George Boole ficaram surpresos com o modo como os métodos exatos de cognição inerentes à matemática e os métodos puramente descritivos da lógica poderiam coexistir em uma pessoa.

Mas o cientista queria tornar a ciência das leis e formas de pensamento tão rigorosa quanto qualquer das ciências naturais, diz a matemática e a física. Para isso, Boule começou a denotar não números como letras, como é feito na álgebra comum, mas afirmações, e mostrou que tais equações, muito semelhantes às algébricas, podem resolver questões sobre a verdade e a falsidade das afirmações feitas pelo homem. Então a álgebra booleana surgiu.

Mas muito antes de George Buhl, o matemático e filósofo alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) teve a idéia de criar uma ciência que designasse todos os conceitos do discurso coloquial comum com símbolos e estabelecesse uma nova álgebra para combinar esses símbolos.

Após a criação dessa ciência, segundo Leibniz, cientistas e filósofos param de discutir e gritar um com o outro, descobrindo a verdade, mas pegam um lápis e dizem calmamente: "Vamos calcular!"

Hoje, a álgebra da lógica se tornou uma parte importante da matemática. Uma de suas tarefas é resolver todos os tipos de equações, cujas proporções numéricas são substituídas por alfabéticas. Provavelmente, cada um de vocês ao longo da vida se lembrou de como resolver equações do segundo e terceiro graus com coeficientes de letra. Então, Boole em sua nova álgebra usou todas essas fórmulas e regras.

O que há de novo na álgebra booleana é que os elementos do conjunto estudado nela não são números, mas declarações. Se, ao resolver equações algébricas comuns, for determinado qual número é igual a X desconhecido, a álgebra escolar procura a resposta para a pergunta: "Quanto?"

A álgebra da lógica está procurando a resposta para a pergunta: "Esta ou aquela afirmação é indicada pela letra X verdadeira?"

O significado e o conteúdo da declaração não desempenham nenhum papel aqui. Cada afirmação pode ser verdadeira ou falsa. Não pode ser meio verdadeiro e meio falso. Como exemplo, podemos lembrar de jogar lotes com uma moeda.

Apenas dois estados de moeda são considerados lá - cara ou coroa. Por acordo das partes, a águia é SIM e as caudas não. Nenhum outro ponto intermediário é levado em consideração na teoria da probabilidade, embora seja possível. Uma moeda lançada pode cair em uma borda, rolar pelo chão até as pernas de uma cadeira ou mesa e permanecer na posição vertical, ou até cair em uma grande abertura no chão. (Por analogia com circuitos elétricos, as duas últimas situações podem ser consideradas um mau funcionamento na forma de um contato queimado).Mas naqueles dias, a álgebra booleana, infelizmente, não era amplamente usada.

Claude Shannon "descobriu" a álgebra de Buhl novamente. Em 1938, ainda estudando no Instituto de Tecnologia de Massachusetts e na América, o jovem Claude provou que a álgebra booleana é completamente adequada para a análise e síntese de circuitos de relé e comutação.

Com a ajuda da álgebra booleana, é muito fácil criar um circuito elétrico de um autômato operando em um relé.Para isso, você precisa saber exatamente o que a máquina deve fazer, ou seja, você precisa ter um algoritmo para sua operação. Então, a base foi lançada para a teoria das máquinas digitais operando com o princípio SIM ou NÃO.

Essa é, em resumo, a história da álgebra booleana. Nos artigos a seguir, consideraremos suas leis básicas, exemplos de circuitos de contato que implementam essas leis. Considere a solução dessas tarefas que foram dadas no início do artigo.

Continuação do artigo: Álgebra booleana. Parte 2. Leis e funções básicas

Boris Aladyshkin